jueves, 10 de abril de 2014

Fractales en la naturaleza, arte y cine.

Fractales en la naturaleza, arte y cine.
Fractales en la naturaleza, arte y cine.

Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica, fragmentada  o irregular, se repite a diferentes escalas. Fue propuesto por el matemático Benoît Mondelbrot.

Fractales en la naturaleza:

En las cataratas ocurre un fenómeno en el que la regularidad producida por el terreno, en combinación con la gravedad, genera patrones fractales durante la caída del agua.



Muchas plantas siguen simples fórmulas recursivas en los patrones dibujados en las venas de sus hojas y en la generación de sus ramas.


El brócoli Ramaresco manifiesta un exquisito diseño fractal representado en el espiral dorado.


Fractales en el arte:

A la combinación y la generación de fractales se la conoce como “arte fractal”. El arte fractal es creado calculando fractales y representando el resultado calculado en una magen, animación o música.


Esta imagen fue generada por un programa llamado “Electrico sheep” que se instala y comienza a generar llamas fractales.

Fractales en el cine:
La gran mayoría de efectos especiales que aparecen en las películas de ciencia ficción están creados por ordenador en las películas a partir de la simulación de determinados dimensiones fractales. Si aplicamos el procedimiento de segmentación de Von Kock a una superficie plana cuandriculada podemos ser capaces de crear una montaña con todos sus valles y salientes, a las que luego se podrá aplicar capar de renderizado (texturas y colores) para crear el efecto deseado de realidad cinematográfica. Aquí podemos ver algunos ejemplos:






Marta López y Ana Jiménez.
Marta Lopey

martes, 18 de marzo de 2014

Fractales clásicos: El triángulo de Sierpinski

Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas. Fue planteado por pirmera ver por Benoît Mandelbrot. La palabra `fractal´ deriva del latín y significa fracturado o fragmentado.

Los fractales más comunes son:

·El conjunto de Cantor: Se forma al dividir un segmento en tres partes iguales, y se desprecia la del medio, y las otras dos vuelven a ser dividas cada una en tres partes iguales, y de nuevo se despreciará el nuevo segmento del medio. Es un proceso infinito.


·Alfombra de Sierpinski: Se obtiene de la división de un cuadrado en nueve nuevos cuadrados y se desprecia el del centro, y esto se repite con cada nuevo cuadrado que aparece.

·La curva de Koch: Es el famoso como de nieve y se obtiene de dividir un segmento en tres partes iguales, y la del medio se convierte en dos nuevos segmentos que forman 60º con el antiguo segmento, es decir, serían los lados de un triángulo equilátero cuya base hubiese sido el antiguo fragmento.

·Curvas que cubren la superficie: 
·Conjuntos de Julia: Fractal relacionado con los números complejos.


·Conjunto de Mandelbrot: Fractal relacionado también con lo números complejos.


Triángulo de Sierpinski:

El triángulo de Sierpinski es uno de los fractales clásicos más conocidos.
Se construye a partir de homotecias centradas en los vértices del triángulo, de razón 1/2, es decir se construye a partir de dividir un triángulo equilátero en otros cuatro triángulos semejantes a este que se encuentra en su interior, y despreciando siempre el triángulo central. Este proceso se repetirá de forma infinita.


Perímetro:

Nº de homotecias
Nº de triángulos
Longitud del lado
Perímetro triángulo
Perímetro total
0
1
X
3x
3x
1
3
x/2
3x/2
9x/2
2
9
x/4
3x/4
27x/4
3
27
x/8
3x/8
81x/8
n
3^n
x/2^n
3x/2^n
3^(n+1)/2^n
(Siendo x la longitud del lado inicial)


Área:

Para calcular el área nos damos cuenta que varía de la forma: 
Nº de homotecias
Área total
0
(3/4)^0
1
(3/4) ^1
2
(3/4) ^2
3
(3/4) ^3

Por lo que la fórmula general para calcular el área del triángulo de Sierpinski es:

(3/4)^n (Siendo n el número de homotecias)

Cristina Aguayo Álvarez
Elena Ibáñez Muñoz





domingo, 16 de marzo de 2014

Como utilizar números complejos en una hoja de cálculo

Las hojas de calculo son capaces de convertir coeficientes reales e imaginarios en números complejos de la forma x + yi o x + yj.
La sintaxis de la función COMPLEJO tiene los siguientes argumentos:
-Numero real: El coeficiente real del número complejo.
-Numero imaginario : El coeficiente imaginario del número complejo
-Numero real:El sufijo del componente imaginario del número complejo. Si se omite, se supone que sufijo tiene el valor "i".

Para realizar las operaciones se utiliza el prefijo IM. (imaginario).

Operaciones: Donde pone función f(x) se introduce las siguientes funciones:
-Suma: IM.SUM(A1;B1)
-Resta: IM.SUSTR(A2;B2)
-Módulo: IM.ABS(A3)
-Multiplicación: IM.PRODUCT(A4;B4)
-División: IM.DIV(A5;B5)

Y quedaría así:



Cristian Manuel Galán Machuca 
1ºA

sábado, 15 de marzo de 2014

El conjunto de Mandelbrot

Mandelbrot es el fundador de una nueva rama de las matemáticas, la geometría fractal. En la geometría convencional, la dimensión de un objeto tiene un valor entero; por ejemplo, una línea tiene una dimensión y un plano tiene dos. En la geometría fractal, los objetos pueden tener dimensiones fraccionarias; por ejemplo, una imagen fractal como la del conjunto de Mandelbrot (de los más importantes) tiene un borde infinitamente detallado, y su dimensión está entre uno y dos. Un fractal se define como la repetición constante de un cálculo simple (iteneración). Pero en el caso del conjunto de mandelbrot es más complejo ya que se forma mediante un número complejo.Las imágenes fractales son generadas utilizando computadores, ya que estos pueden realizar cálculos tan complejos como el estudiado, pero cabe tener en cuenta que lo representado no es propiamente un fractal, ya que por poderosa que sea la máquina, un fractal es infinito y una computadora no puede realizar un cálculo infinitas veces. En el caso del Conjunto de Mandelbrot, este se realiza en un plano bidimensional de números Complejos.

La fórmula que describe este conjunto es:






El  conjunto de Mandelbrot se forma mediante un número complejo (a+bi, a y b números complejos; i=unidad imaginaria). Tenemos pues un número complejo (Z= a+bi), el cual se somete a una "prueba matemática". Para ello tomamos Z y lo elevamos al cautdrado, sumándoselo después al mismo Z. Luego, elevamos ese resultado y lo elevamos nuevamente al cuadrado, sumándoselo a Z y así infinitamente (iteración). Este proceso transforma un número complejo "simple" en otro infinitamente trincado. Representando esto:




FOTOS






Representación matemática del conjunto de Mandelbrot como subconjunto del plano complejo. Los puntos del conjunto se muestran en negro. Obsérvese cómo -1 pertenece al conjunto mientras que 1 no.

Si ponemos muy pequeño el número de iteraciones nos da un fractal con menos colores y menos definido y se va definiendo conforme aumentamos. Para valores del orden de 100 ya no hay diferencia visible, a no ser que hagamos un zoom en alguna parte.Todos los números que al ser iterados se mantienen "realtivamente pequeños" se dice que pertenecen al Conjunto de Mandelbrot. Estos números son representados con color negro. Los demás puntos, se representan dependiendo de su rapidez de iteración (velocidad con la que "lanza" a los valores de z hacia el infinito), esto es, el menos rápido se representa con amarillo, anaranjado, etc., y el más rápido, en colores celeste, azul, azul oscuro y así. En este caso, el mejor de los colores es el negro.




Una propiedad fundamental de los fractales es la autosimilitud o autosemejanza, que se refiere a una cierta invariabilidad con relación a la escala, o dicho de otro modo, al acercarse a ciertas partes de la imagen reaparece en miniatura la imagen total. Un mismo motivo aparece a distintas escalas, a un número infinito de escalas.: Podemos apreciar la autosimilitud:






 A continuación una canción que hace referencia a este conjunto:

Noelia Pérez Mora y Francisco Martín Bayona



lunes, 10 de marzo de 2014

Fractales y Papiroflexia

Un fractal es un objeto cuya estructura se repite a diferentes escalas. Es decir, por mucho que nos acerquemos o alejemos del objeto, observaremos siempre la misma estructura. De hecho, somos incapaces de afirmar a qué distancia nos encontramos del objecto, ya que siempre lo veremos de la misma forma. Son entidades matemáticas que están por todas partes. Y, precisamente, por su variedad, son difíciles de definir porque no todos cumplen las mismas características, aunque hay algo en común: son el producto de la repetición de un proceso geométrico elemental que da lugar a una estructura final de una complicación extraordinaria. Da como resultado un conjunto cuya frontera es imposible dibujar a pulso. Hay muchos objetos de la naturaleza que, debido a su estructura o comportamiento, son considerados fractales naturales aunque no lo parezcan: las nubes, las montañas, las costas, los árboles y los ríos. En lo que se diferencian de los fractales matemáticos es que éstos son entidades infinitas. El termino fractal fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975.
Existen muchísimos fractales, ya que como veremos, son muy fáciles de construir. Los ejemplos más populares son el conjunto “Mandelbrot” o el triángulo “Sierpinski”. Este último se realiza de una forma muy sencilla: dibujamos un triángulo grande, colocamos otros tres triángulos en su interior a partir de sus esquinas, repetimos el último paso.
                   Sirpinski Triangle
Otro sencillo ejemplo lo constituye la alfombra de Sierpinski:
                                              Sierpinski Carpet
Como puede verse, la estrategia más sencilla para conseguir un fractal, es coger una figura y reproducirla en versiones más pequeñas. Sin embargo, se pueden conseguir objetos muchos más complejos.
El conjunto de Mandelbrot fue propuesto en los años setenta, pero no fue hasta una década más tarde cuando pudo representarse gráficamente con un ordenador. Este conjunto se define a partir de un número “c” cualquiera, que define la siguiente sucesión:
Manderbolt ec
Para diferentes valores de “c”, obtenemos diferentes sucesiones. Si la sucesión es acotada, “c” pertenece al conjunto de Mandelbrot, y si no, queda excluido. Si además consideramos números complejos, obtenemos la siguiente figura:
MandelSet




El origami es el arte de origen japonés consistente en el plegado de papel sin usar tijeras ni pegamento para obtener figuras de formas variadas, muchas de las cuales podrían considerarse como esculturas de papel. Según la real academia española este arte se denomina papiroflexia.
La particularidad de esta técnica es la transformación del papel en formas de distintos tamaños partiendo de una base inicia cuadrada o rectangular que pueden ir desde sencillos modelos hasta plegados de gran complejidad. En el origami se modela el medio que nos rodea y en el cual vivimos: fauna y flora de todos los continentes, la vida urbana, animales mitológicos y un sinfín de otras figuras.



El origami también tiene una vertiente científica, dependiendo de las preferencias de cada plegador, o de su sistema de creación. Los pliegues no son más que operaciones de simetría, a veces bastante complejas, y pueden ser ideadas y estudiadas metodológicamente en términos geométricos. El carácter matemático que pueda tener el plegado de papel no está reñido con el lado artístico, aunque tampoco tiene por qué coincidir. Por ejemplo podemos mencionar a la gente que se dedica a demostrar teoremas geométricos utilizando sólo el papel, incluso hay trabajos publicados sobre la resolución de ecuaciones de 3er grado sólo doblando el papel. Como consecuencia lógica de este campo es la versatilidad que ha dado el origami a la enseñanza en las clases de matemáticas a nivel preuniversitario. Además, el origami ofrece un ingrediente especial ya que, como las matemáticas, el origami es infinito.



                      

-María Cervera Lara
-Celia Jiménez Jaén

viernes, 7 de marzo de 2014

La alfombra de Sierpinski

LA ALFOMBRA DE SIERPINSKI



La alfombra de Sierpinski es un conjunto fractal descrito por primera vez por Waclaw Sierpinski, un matemático polaco que hizo grandes aportaciones en las teorías de conjuntos, números, funciones y topología.

La construcción de la alfombra de Sierpinski se define de forma recursiva:
  1. Comenzamos con un cuadrado.
  2. El cuadrado se corta en 9 cuadrados congruentes, y eliminamos el cuadrado central.
  3. El paso anterior vuelve a aplicarse recursivamente a cada uno de los 8 cuadrados restantes.
La alfombra de Sierpinski es el límite de este proceso tras un número infinito de iteraciones.



Construcción de la alfombra de Sierpinski:







Paso 1
Paso 2
Paso 3
Paso 4
Paso 5




De esta forma si llamamos n al número de iteraciones, el número de cuadrados de cada iteración se expresará con la siguiente expresión:

N = 8n cuadrados

La longitud del lado de los cuadrados en cada iteración se expresará:

L = (1/3)n

El perímetro de cada uno de los cuadrados de cada iteración se expresará:

P = (1/3)n · 4

El área de cada cuadrado de cada una de las iteraciones se expresará:

A = (8/9)n


Álvaro Castillo García
Alfonso Extremera Fernández

Relación de los fractales con el arte, la naturaleza y el cine.


Para hablar de los fractales es necesario conocer de ellos.

¿Qué es un fractal?

Es un objeto geométrico cuya estructura básica, fragmentada o o irregular, se repite a diferentes escalas.

RELACIÓN CON EL ARTE
A la combinación de Arte y la generación de Fractales se le conoce como "Arte Fractal". El arte fractal es creado calculando fractales y representando el resultado calculado (el fractal) en una imagen, animación, música u otro tipo de "medio". La mayoría de arte fractal (o al menos, el más popular) se crea con la asistencia de software (para generarlos).

Encontramos que Escher, que era un gran apasionado de la geométrica y por ello en sus obras aparecen plagadas de simetrías, rotaciones, translaciones y toda serie de funciones puntuales que van modelándolas.
Un ejemplo son sus teselados en los que encontramos esta característica de autosemejanza de fractales.
Observemos el dibujo que está inspirado en el modelo Poicaré. Según el propio Escher en el que se puede representar la totalidad de una superficie finita encerrada en un circulo finito.


En este cuadro:

Vemos como para marcar el cambio gradual de tamaño de los dibujos este artista nos muestra las construcciones fractales, guiándonos a través de ejes virtuales que se forman uniendo los puntos en los que los dibujos de uno y otro color se encuentran.


CON LA NATURALEZA

Las formas de la naturaleza son fractales y múltiples procesos de la misma se rigen por comportamientos fractales. Esto quiere decir que una nube o una costa pueden definirse por un modelo matemático fractal que se aproxime satisfactoriamente al objeto real.

ELEMENTOS DE LA NATURALEZA QUE PUEDEN ESTUDIARSE MEDIANTE UN MODELO FRACTAL:


-CUERPO HUMANO: Abundan las estructuras fractales.
*Redes nerviosas.
*Redes de vasos sanguíneos.
*Conductos biliares.
*Sistemas de tubos pulmonares y bronquios
ELEMENTOS DE LA NATURALEZA:
*Montañas
*Coníferas
*Sauces



CON EL CINE

En relación del cine con los fractales podemos observar como en esta foto de la portada de la película del Niño con el Pijama de Rayas se halla la simetría de la alambrada a ambos lados.





Otro ejemplo de escenarios fractales son los que aparecen en la película UP


 Los fractales se han revelado especialmente útiles en la simulación de fluidos: llamas, inundaciones, etc. Así dando a la película una imagen mas realista.


Realizado por : María Muñoz y Jessica Rosales